【题解】P4342 [IOI1998]Polygon

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题目大意

给出一个有\(n\)个顶点的多边形。每个顶点上有一个整数，每条边上有加号或乘号。

第一步，删除其中一条边。随后每一步：选择一条边连接的两个顶点\(V_1\)和\(V_2\)，用边上的运算符计算\(V_1\)和\(V_2\)得到的结果来替换这两个顶点（合并两顶点）。

结束，只有一个顶点，没有多余的边。计算最后的顶点的最大值。

\(3\le n\le 50\)，对于任何一系列的操作，顶点数字都在\((-32768,32767)\)的范围内。

分析

先断环成链，将数组在尾部复制一遍。

设\(f(l,r)\)表示区间\([l,r]\)中可以得到的最大值。易得加法转移方程：\(f(i,j)= \max\{f(i,k)+f(k+1,j)\}\)

在乘法转移，存在负负得正的情况，故记录最小值。设\(g(l,r)\)表示区间\([l,r]\)中可以得到的最小值。分类讨论乘法情况：

\(1. f(i,k)>0, f(k+1,j)>0, g(i,k)>0, g(k+1,j)>0:\)

\(f(i,j)=\max\{f(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{g(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(2. f(i,k)>0, f(k+1,j)>0, g(i,k)>0, g(k+1,j)<0：\)

\(f(i,j)=\max\{f(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{f(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

$3. f(i,k)>0, f(k+1,j)<0, g(i,k)>0, g(k+1,j)<0: $

\(f(i,j)=\max\{g(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{f(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(4. f(i,k)>0, f(k+1,j)>0, g(i,k)<0, g(k+1,j)>0:\)

\(f(i,j)=\max\{f(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{g(i,j)\times f(k+1,j)\}\)

\(5. f(i,k)>0, f(k+1,j)>0, g(i,k)<0, g(k+1,j)<0:\)

\(f(i,j)=\max\{f(i,k)\times f(k+1,j),g(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{f(i,k)\times f(k+1,j),g(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(6. f(i,k)>0, f(k+1,j)<0, g(i,k)<0, g(k+1,j)<0：\)

\(f(i,j)=\max\{g(i,k)\times g(k+1,j),f(i,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{f(i,k)\times g(k+1,j),g(i,j)\}\)

\(7. f(i,k)<0, f(k+1,j)>0, g(i,k)<0, g(k+1,j)>0：\)

\(f(i,j)=\max\{f(i,k)\times g(k+1,j),f(i,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{g(i,k)\times f(k+1,j),g(i,j)\}\)

\(8. f(i,k)<0, f(k+1,j)>0, g(i,k)<0, g(k+1,j)<0：\)

\(f(i,j)=\max\{g(i,k)\times g(k+1,j),f(i,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{g(i,k)\times f(k+1,j),g(i,j)\}\)

\(9. f(i,k)<0, f(k+1,j)<0, g(i,k)<0, g(k+1,j)<0：\)

\(f(i,j)=\max\{g(i,k)\times g(k+1,j),f(i,j)\}\)

\(g(i,j)=\min\{f(i,k)\times f(k+1,j),g(i,j)\}\)

通过观察可以总结出两个转移方程：

\(f(i,j)=\max \{f(i,k)\times f(k+1,j),g(i,k)\times g(k+1,j),f(i,k)\times g(k+1,j), g(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

\(g(i,j)=\min⁡\{f(i,k)\times f(k+1,j),g(i,k)\times g(k+1,j),f(i,k)\times g(k+1,j), g(i,k)\times f(k+1,j)\}\)

注意初始化长度为一的情况。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans;
ll a[105],f[105][105],g[105][105];
char b[105];
inline ll maxx(ll w,ll o,ll r,ll l,ll d){
    return max(w,max(o,max(r,max(l,d))));
}
inline ll minn(ll w,ll o,ll r,ll l,ll d){
    return min(w,min(o,min(r,min(l,d))));
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>b[i],b[i+n]=b[i];
        cin>>a[i],a[i+n]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=2*n;i++){
        for(int j=1;j<=2*n;j++){
            f[i][j]=-0x3f3f3f3f;
            g[i][j]=0x3f3f3f3f;
        }
    }
    for(int i=1;i<=2*n;i++){
        f[i][i]=g[i][i]=a[i];
    }
    for(int l=2;l<=n;l++){
        for(int i=1;i+l-1<=2*n;i++){
            int j=i+l-1;
            for(int k=i;k<j;k++){//一定不要等于
                if(b[k+1]=='x'){
                    f[i][j]=maxx(f[i][j],f[i][k]*f[k+1][j],f[i][k]*g[k+1][j],g[i][k]*f[k+1][j],g[i][k]*g[k+1][j]);
                    g[i][j]=minn(g[i][j],f[i][k]*f[k+1][j],f[i][k]*g[k+1][j],g[i][k]*f[k+1][j],g[i][k]*g[k+1][j]);
                }
                if(b[k+1]=='t'){
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
                    g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k+1][j]);
                }
            }
        }
    }
    ans=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(ans==f[i][i+n-1]) cout<<i<<" ";
    }
    return 0;
}