【题解】P5691 [NOI2001] 方程的解数

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题目大意

已知一个\(n\)元高次方程： \[ \sum_{i=1}^nk_ix_i^{p_i}=0 \] 已知未知数\(x_i\in \[1,m](i\in[1,n])\)。给定\(n,m,k_i,p_i\)，求方程的整数解数。

\(1 \le n \le 6, 1 \le m \le 150, \sum_{i=1}^n|k_im^{p_i}<2^{31}|\)

分析

首先想到暴力搜索，枚举每个\(x\)的解，时间复杂度为\(O(150^6)\approx O(10^{13})\)，显然不可过。继续观察，发现其实分别枚举前$n/2\(个未知数和后\)n/2\(个未知数的值即可，枚举第一部分未知数时将出现的值以及出现次数记录下来，枚举出第二部分的值后，直接找这个值的**相反数**在第一部分中出现了几次，最后将答案加上这个数即可。时间复杂度降为\)O(2^3)O(6e6)$

实现

深搜枚举答案，其中\(x_i^{p_i}\)用快速幂即可：

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ll qp(ll a, ll b) {
    ll base = a, res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            res *= base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

由于枚举出来的值\(<2^{31}\)，我们需要使用哈希表统计次数：

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ll has(ll x) {
    ll res = x % mod;
    if (res < 0) res += mod;
    while (num[res] && book[res] != x) {
        res++;
        if (res == mod) res = 0;
    }
    return res;
}

最后附完整代码（\(1.18s, 77.00mb\)）：

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int mod = 5000007;
#define ll long long
ll ans, n, m, k[200], p[200], num[5000008], book[5000008];


ll qp(ll a, ll b) {
    ll base = a, res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            res *= base;
        }
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll has(ll x) {
    ll res = x % mod;
    if (res < 0) res += mod;
    while (num[res] && book[res] != x) {
        res++;
        if (res == mod) res = 0;
    }
    return res;
}

void f(ll x, ll sum) {
    if (x > n / 2) {
        int p = has(sum);
        num[p]++;
        book[p] = sum;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        f(x + 1, sum + qp(i, p[x]) * k[x]);
    }
}

void f2(ll x, ll sum) {
    if (x > n) {
        ans += num[has(-sum)];
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        f2(x + 1, sum + qp(i, p[x]) * k[x]);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> k[i] >> p[i];
    }
    f(1, 0);
    f2(n / 2 + 1, 0);
    cout << ans;
    return 0;
}