【题解】21 ZR联赛集训 day4 下象棋

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题目大意

给出\(n\times n~(1\le n \le 10^6)\)棋盘上的一些棋子，问有多少点不与任何一个棋子形成斜率为\(\pm 1\)的斜线。

分析

一个棋子就对应了斜率为\(\pm 1\)的两条斜线，其中每条斜率为\(1\)的线上点\((x,y)\)有\(x+y\)相等的性质；斜率为\(-1\)的点有\(x-y\)相等的性质。

这样的线一共有\(4\times n\)条，我们可以遍历每一个棋子，标记它们所在的线。我们还很容易可以算出，每条线上点的数目，即不合法的点。

最后，有可能存在斜线相交的情况，此时交点被算了两次。因为斜率为$ -1$ 的线能交到的斜率为 $1 $的线是⼀个连续的区间，考虑⽤前缀和处理。注意：相交的点如果不是整点，不需要统计。

实现

统计相交线的数量要隔一条统计一次：

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for (int i = -n + 1; i <= n - 1; i++) {
    if ((i + N) % 2 == 0) {
        sum[i + N][0] = sum[i + N - 1][0] + booka[i + N];
        sum[i + N][1] = sum[i + N - 1][1];
    }
    else {
        sum[i + N][0] = sum[i + N - 1][0];
        sum[i + N][1] = sum[i + N - 1][1] + booka[i + N];
    }
}

完整代码：

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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1000006;
bool booka[(N << 1) + 10], bookb[(N << 1) + 10];
ll sum[(N << 1) + 10][2];
ll n, m, ans, x, y, cnta, cntb;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;    
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> x >> y;
        ll a = x - y + N, b = x + y, s, t;
        if (!booka[a] && a !=  n - 1 + N && a != 1-n + N) {
            booka[a] = true;
            ll p = a - N;
            if (p >= 0) s = p + 1, t = n;
            else s = 1, t = p + n;
            ans += t - s + 1;
        }
        if (!bookb[b] && b != 2 && b != 2 * n) {
            bookb[b] = true;
            if (b >= n + 1) s = b - n, t = n;
            else s = 1, t = b - 1;
            ans += t - s + 1;
        }
    }
    for (int i = -n + 1; i <= n - 1; i++) {
        if ((i + N) % 2 == 0) {
            sum[i + N][0] = sum[i + N - 1][0] + booka[i + N];
            sum[i + N][1] = sum[i + N - 1][1];
        }
        else {
            sum[i + N][0] = sum[i + N - 1][0];
            sum[i + N][1] = sum[i + N - 1][1] + booka[i + N];
        }
    }

    for (int i = 2; i <= 2 * n; i++) {
        if(!bookb[i]) continue;
        ll s, t;
        if (i >= n + 1) s = i - 2 * n, t = 2 * n - i;
        else s = 2 - i, t = i - 2;
        ans -= sum[t + N][i % 2] - sum[s + N - 1][i % 2];
    }
    
    ans = n * n - ans;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}