《物理实验》第一章概念阐释

发表于 2025-03-01 分类于笔记阅读次数： Valine：

《物理实验》中测量不确定度与数据处理方法一章中涉及的概念繁多，在此稍作梳理。

## 1.1 测量误差

测量：分为直接测量和间接测量。由数值和单位两部分组成。

误差：绝对误差 = 测量结果 - 真值；相对误差 = 绝对误差 / 真值。误差分为三大类：系统、随机、粗大。

精密度：反映随机误差大小的程度。精密度高，测量的重复性好，测量值的分布密集。

正确度：反映系统误差大小的程度。不能确定数据分散的情况。

准确度：反映系统误差与随机误差的综合大小的程度。

随机误差：服从正态分布。单峰、对称、有界、抵偿。

标准差：$\sigma$，方差的算术平方根。

极限误差：$3\sigma$

置信概率：随机变量在区间$(x_1,x_2)$出现的概率，为$\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$，其中$f(x)$为概率密度函数。

置信区间：置信概率对应的区间。

标准偏差： \[ s(x) = \sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}} \]

分母使用$n-1$是因为$\bar{x}$要比真值离$x_i$更近，所以分母$\sum(x_i-\bar x)^2$会变小，因此要将分子调小，来让$s(x)$更接近$\sigma$。

$\bar x$的标准差：对于多次多组测量，每次会得到一个平均值。这些平均值的标准偏差是$n$组测量中任意一组测量值的标准偏差的$\frac{1}{\sqrt n}$倍： \[ s(\bar x) = \frac{s(x)}{\sqrt n} \] 因此我们可以知道，$n$次测量中的任意一次测量，都可以得到平均数的标准偏差。且测量次数越多，平均数的标准偏差越小。

$s(\bar x)$具有统计意义：真值落在区间$(x - s(x),x + s(x)) $ 的概率约为$68.3\%$，注意到这个数据与正态分布时$x$出现在$(a-\sigma,a+\sigma)$之间的概率大致相等。但这个结论前提是$n$足够大。当平常进行实验测量次数较少时，误差分布会遵从$t$分布。此时区间$(x - s(x),x + s(x)) $对应的置信概率达不到$0.683$，于是我们需要通过$t$因子$t_p$扩大置信区间为$(\bar x - t_ps(\bar x),\bar x + t_ps(\bar x))$。特别地，$\frac {t_{0.95}}{\sqrt 6} \approx 1$，因此这个特殊值后面会用到。

1.2 测量的不确定度和结果的表达

A类不确定度：采用统计方法评定。使用$u_a(x)$表示，物理实验中一般用如下公式估算： \[ u_a(x)=t_ps(\bar x)=\frac{t_p}{\sqrt n}s(x) \] 当置信概率为$P=0.95$且$n=6$时，由$\frac {t_{0.95}}{\sqrt 6} \approx 1$有： \[ u_a(x) \approx s(x) \] B类不确定度：采用非统计方法评定。使用$u_b(x)$表示。物理实验中主要由仪器引起：$u_b(x)=\Delta_{仪}$。

合成不确定度：$u(x) = \sqrt{u_a^2(x)+u_b^2(x)}$。

测量结果的表达：
\[ \begin{cases} x=\bar x \pm u(x)\\ u_r = \frac{u(x)}{\bar x} \times 100\% \end{cases} \] 直接测量的不确定度： 单次测量$u(x)=u_b(x)$ 。多次测量：

求$\bar x$
修正一直系统误差
贝塞尔公式求$s(x)$
得出$u_a(x)$、$u_b(x)$和$u(x)$
计算相对不确定度$u_r$，最后写结果。

间接测量的不确定度：

先求直接测量量的不确定度
若测量量关系是乘除、方幂，先取自然对数
偏导
合并同类项
把微分号变成不确定度符号
平方、求和、开根号

有效数字及其运算法则

乘除法运算的近似：乘除法运算的有效位数结果取决于参与运算数字中有效位数最少的那个数，若两个乘数第一位相乘大于10，可以多取一位。

最小不确定度：测量结果最后一位数上取一个单位。

特殊函数的近似：利用微分关系，微分后$dy$的第一个非零位在哪里，结果就取到哪一位。

不确定度的有效位：一般情况下保留一位，若第一位小于等于3，可保留两位。

数据截断：

尾数小于5舍弃，大于5进位，等于5凑偶
测量结果与不确定度的有效位数矛盾时，以不确定度的有效位数确定结果的有效位数
测量结果的有效数字的最后一位应该与不确定度的最后一位数对齐