恋爱关系与微分方程
CXR老师曾提到这篇有趣的文章和它有趣的作者应用数学家Steven H. Strogatz,于是ZJY为了练习英语将其翻译了出来。
来源:《数学杂志》第61卷,第1期,1988年2月,第35页
作者:史蒂文·H·斯特罗加茨,哈佛大学
这篇笔记的目的是提出一种独特的讲解耦合常微分方程组的方法。这种方法将数学原理与一个大学生已经很熟悉的话题联系在了一起,即两人之间恋爱关系随时间的变化。学生们似乎很喜欢这些内容,他们积极参与到方程的构建、求解以及解释过程中来。
下面的例子包含的这个想法的精髓。
朱丽叶爱上了罗密欧,但是在我们对这个故事的改编版本里,罗密欧是一个反复无常的情人。朱丽叶越爱他,他越开始讨厌朱丽叶。但是,当她对他失去兴趣,他对她的感情却逐渐升温了。另一方面,她的爱意往往会跟着他走:当他爱她时,她对他的爱意逐渐增加;当他讨厌她时,她也转为讨厌他。
一个简单的数学模型可以描述他们不幸的爱情: \[ \begin{aligned} \frac{dr}{dt}=-aj\\ \frac{dj}{dt}=br \end{aligned} \] 其中 \[ \begin{aligned} r(t)=罗密欧对朱丽叶的爱或恨随时间t的变化\\ j(t)=朱丽叶对罗密欧的爱或恨随时间t的变化. \end{aligned} \] \(r,j\) 为正值代表爱,负值代表恨。参数 \(a,b\) 为正,和上文的故事情节相契合。
当然,他们之间恋爱关系令人难过的结局是,一个永不停止的爱与恨的循环;决定爱意与恨意的方程就是简谐振子的方程。但至少,他们成功实现了四分之一时间内的同时相爱。
作为一种可能的变式,讲师们可能希望讨论更一般的二阶线性方程组 \[ \begin{aligned} \frac{dr}{dt}=a_{11}r+a_{12}j\\ \frac{dj}{dt}=a_{21}r+a_{22}j \end{aligned} \] 其中,参数 \(a_{ij}(i,k=1,2)\) 可正可负,正负号的选择决定了恋爱的风格。如我的一位学生所命名的那样,当选择\(a_{11},a_{12}>0\) 时,就描述了一个“急切的海狸”,这种人既会因伴侣对自己的爱而兴奋不已,又会因自己对伴侣的深情而更加备受鼓舞。为其他三种可能的恋爱风格命名,并思考不同配对组合的爱情前景,是一件颇为有趣的事。例如,一个谨慎的爱人(\(a_{11}<0,a_{12}>0\))是否可以和“急切的海狸”找到真爱?
出于现实性或数学趣味,还可以引入更复杂的设定。例如加入非线性项来防止无限狂热或极端轻蔑的可能。诗人早已暗示,这些方程应该是非自治的(“春天里,年轻人的幻想总是轻易转向爱情的思绪”——丁尼生) 。最后,在这个背景下,“多体问题”一词也被赋予了新的含义。
附原稿: